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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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12. La función ff satisface la ecuación (5x+1)f′(x)+f(x)=1(5 x+1) f^{\prime}(x)+f(x)=1 y f(0)=2f(0)=2. Encuentre el polinomio de Taylor de orden 5 en x=0x=0.

Respuesta

Como ya venimos hablando en las clases cuando resolvimos ejercicios de polinomio de Taylor: El mejor consejo que te puedo dar en este tipo de problemas es arrancar estructurándonos la respuesta. Fijate que a vos te hablan de una función ff, que verifica una determinada ecuación, ok, tranqui, ya veremos cómo usamos eso; pero lo que nos están pidiendo es el polinomio de Taylor de ff de orden 55 centrado en x=0x=0. Entonces, lo primero que hacemos es escribirnos eso:

p(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+f4(0)4!x4+f5(0)5!x5 p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{4}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{5}(0)}{5!}x^5

Por suerte f(0)=2f(0) = 2, porque lo dice el enunciado, así que ya tenemos la primera pieza de este rompecabezas. 

Ahora necesitamos f′(0)f'(0) y sabemos que ff verifica esta ecuación:

(5x+1)f′(x)+f(x)=1(5 x+1) f^{\prime}(x)+f(x)=1

Si evaluamos esta ecuación en x=2x=2 nos queda:

(5⋅0+1)f′(0)+f(0)=1 (5\cdot 0+1)f'(0) + f(0) = 1

Usamos que f(0)=2f(0) = 2, ya lo podemos reemplazar: f′(0)+2=1 f'(0) + 2 = 1
Despejamos: f′(0)=−1 f'(0) = -1

Buenísimoooo, ya tenemos f′(0)f'(0). Ahora necesitamos f′′(0)f''(0) ¿cómo podemos hacer para que nos aparezca en esa ecuación? ¡Podemos derivar ambos miembros! Acordate que eso es totalmente legal, lo vimos en varios ejemplos en clase, vos podés sumar lo mismo a ambos lados de la igualdad, multiplicar por lo mismo, derivar ambos lados, más adelante integrar ambos también... todo es válido siempre y cuando lo hagas a ambos lados de la igualdad. 

Entonces, si tenemos:

(5x+1)f′(x)+f(x)=1(5 x+1) f^{\prime}(x)+f(x)=1

Derivamos ambos lados de la igualdad. Atenti a la izquierda usamos regla del producto al principio y nos queda:

5f′(x)+ (5x+1)f′′(x) +f′(x)=0 5f'(x) + (5x+1)f''(x) + f'(x) = 0

Aclaración por si alguien se perdió: A la derecha nos quedó 00 porque derivamos 11... y eso es cero
Y ahora evaluamos en x=0 x=0 , y acordate que f′(0)f'(0) y f(0)f(0) ya las conocemos ;)  5⋅(−1)+f′′(0) −1=0 5\cdot(-1)+ f''(0)  -1 = 0

Despejamos:
f′′(0)=6 f''(0) = 6

Genial, ya tenemos entonces f′′(0)f''(0). Ahora, si necesitamos f′′′(0)f'''(0), bueno, volvemos a hacer lo mismo que antes, no? Derivamos ambos lados de la igualdad y nos va a aparecer la derivada tercera que necesitamos ;)

5f′′(x)+5f′′(x)+(5x+1)f′′′(x) +f′′(x)=0 5f''(x) + 5f''(x) + (5x+1)f'''(x) + f''(x) = 0

Evaluamos en x=0x=0

5⋅6+5⋅6+f′′′(0)+6=05 \cdot 6 + 5 \cdot 6 + f'''(0) + 6 = 0

f′′′(0)=−66f'''(0) = -66

Genial, ya falta menos! Ahora necesitamos f(4)(0)f^{(4)}(0), fijate que antes podemos agrupar términos de la ecuación:

5f′′(x)+5f′′(x)+(5x+1)f′′′(x) +f′′(x)=0 5f''(x) + 5f''(x) + (5x+1)f'''(x) + f''(x) = 0

11f′′(x) +(5x+1)f′′′(x)=011f''(x) + (5x+1)f'''(x) = 0

Ahora si, derivamos ambos lados de la igualdad una vez más...

11f′′′(x)+5f′′′(x)+(5x+1) f(4)(x)=011 f'''(x) + 5 f'''(x) + (5x+1) f^{(4)}(x) = 0

16f′′′(x)+(5x+1) f(4)(x)=016 f'''(x)+ (5x+1) f^{(4)}(x) = 0

Ahora evaluamos en x=0x=0

16⋅(−66)+ f(4)(0)=016 \cdot (-66) + f^{(4)}(0) = 0

f(4)(0)=1056f^{(4)}(0) = 1056

Y ahí viene la últimaaaa, derivamos una vez más:

16f(4)(x)+5f(4)(x)+(5x+1) f(5)(x)=016 f^{(4)}(x) + 5f^{(4)}(x) + (5x+1) f^{(5)}(x) = 0

21 f(4)(x)+(5x+1)f(5)(x)=021 f^{(4)}(x) + (5x+1)f^{(5)}(x) = 0

Evaluamos en x=0x=0

21⋅1056+ f(5)(x)=021 \cdot 1056 + f^{(5)}(x) = 0

f(5)(x)=−22176f^{(5)}(x) = -22176

Bueno gente, ya tenemos entonces todas las piezas de nuestro rompecabezas. Si no me confundí en ninguna cuenta, la respuesta correcta nos queda:

p(x)=2−x+62!x2−663!x3+10564!x4−221765!x5 p(x) = 2 - x + \frac{6}{2!}x^2 - \frac{66}{3!}x^3 + \frac{1056}{4!}x^4 - \frac{22176}{5!}x^5
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Jhonatan
8 de junio 1:44
che lo podrias hacer el 12 completo por favor es que estoy un poco perdido en lo que es la derivada miembro a miembro
0 Responder
Flor
PROFE
8 de junio 17:17
@Jhonatan Hola Jhonatan! No hay ningún paso intermedio que me haya salteado, pero vamos a pensar juntos en la tablet cómo es que fuimos llegando a esas ecuaciones... Acordate que vos siempre podés hacer la misma operación en ambos miembros (en decir, a ambos lados de la igualdad) y eso es todo legal, por ejemplo, podés sumar 11 a ambos lados de la igualdad, podés multiplicar por 22 a ambos lados de la igualdad... y en particular, lo que vamos a hacer varias veces en ejercicios acá en Análisis es derivar a ambos lados de la igualdad (y más adelante integrar a ambos lados también) 

Entonces, por ejemplo... Yo ahi te puse en la tablet una de las ecuaciones que nos aparecen ahí al principio, la que vos me hiciste print de pantalla. Lo que hacemos es derivar ambos lados de la igualdad y fijate cómo lo hacemos:

2024-06-08%2017:17:05_1796783.png

Y los mismos razonamientos los usas para las otras 

Queda más claro ahora?
0 Responder
Jhonatan
8 de junio 0:33
2024-06-08%2000:33:22_3877970.png
0 Responder